Adi diferansiyel denklemlerin çözümü için rezidü yöntemi

Üç bölümden oluşan tezde, lineer diferansiyel operatörler ve onların oluşturduğu lineer diferansiyel denklemler için genel şekilde yazılmış sınır değer probleminin cebirsel yapısı detaylı şekilde incelenmiştir. Bu amaçla genel şekilde yazılmış lineer diferansiyel ifade ve operatörler için Lagrange anlamında adjoint diferansiyel ifade ve adjoint sınır koşulları da incelenmiştir. Bunun yanı sıra lineer diferansiyel operatörlerin özdeğerleri ve özfonksiyonları da kapsamlı şekilde ele alınmış ve onların bazı özellikleri araştırılmıştır. Ayrıca tezde, lineer diferansiyel ifade ve operatörler için Green fonksiyonu kullanılarak, adi lineer diferansiyel operatörler için ters operatörün kurulmasına da yer verilmiştir. Bu tür araştırmalar, lineer kısmi türevli diferansiyel denklemler için yazılmış sınır değer problemlerinin çözümünü Fourier yöntemi ile aldığımızda ve çözümün doğrulanmasında önem kazanmaktadır. Bilindiği gibi, spektral problemin özdeğerleri katlı olduğu durumda bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar tam ve ortonormal sistem oluşturmazlar ve böyle durumlar için Fourier yönteminin uygulanmasında bazı zorluklarla karşılaşılır. Bu nedenle, tezin üçüncü bölümünde sabit katsayılı lineer diferansiyel denklemler için yazılmış sınır değer probleminin çözümü rezidü yöntemiyle incelenmiş ve ele alınmıştır. İncelenmiş olan rezidü yöntemi self adjoint olmayan ve katlı özdeğerlere sahip sınır değer problemleri için de geçerli olmaktadır. Son bölümde, özel olarak ikinci mertebeden sabit katsayılı homojen olmayan denklem için yazılmış sınır değer problemi hem sabitin varyasyonu hem de rezidü yöntemleri ile çözülmüştür.

In this thesis the algebraic structure of the boundary value problem for linear differential equations in general form is comprehensively investigated. The properties of linear differential operators generated by the problem have also been studied. For this aim, at first the adjoint differential expression in Lagrange?s sense is written and the adjoint boundary conditions are examined. Moreover, the eigenvalues and eigenfunctions of the linear differential operators and of some properties have been studied. Later, the Green?s function of the boundary value problem for a linear differential equations has been obtained. By using the Green?s function, the concept of the inverse operator has been given, too. The results of the above investigated subjects are used for both solving the boundary value problem of linear differential equations when Fourier?s method is applied and verifying the obtained solution. It is known that if the eigenvalues are the higher order poles of the solution, corresponding eigenfunctions are not orthonormal and the problem of expansion of any function over these eigenfunctions is open. In this case, the application of Fourier?s method is impossible instead, the residue method for the boundary value problem of a linear differential equation with constant coefficients has been investigated. The residue method can be applied when the differential operator generated by the corresponding problem is not selfadjoint. Finally, using the residue method, some boundary value problems of the second order linear differential equations with constant coefficients have been solved.